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绝配角与线段最值,导角转化非常关键,难度还是相当大的!

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在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC上一点 (1)如图1,E是AB中点,tan∠BCE= 图片澳门荷官真人发牌 CE=5,AD=3 图片 ,求线段BD的长度; (2)如图2,CA=CB,点F在线段AD上,将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG,连接BG,交AC于点H,当∠CAD=2∠ABG时,猜想AF与CH的数量关系,并证明你的结论; (3)如图3,在(2)的条件下,点M在CF上,点N在CG上,FM=CN,连接NM,若CF=2 图片 ,直接写出 图片 MN+NG的最小值. 图片 解:

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在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC上一点

(1) 如图1,E是AB中点,tan∠BCE=

图片澳门荷官真人发牌

CE=5,AD=3

图片

,求线段BD的长度;

(2)如图2,CA=CB,点F在线段AD上,将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG,连接BG,交AC于点H,当∠CAD=2∠ABG时,猜想AF与CH的数量关系,并证明你的结论;

(3)如图3,在(2)的条件下,点M在CF上,点N在CG上,FM=CN,连接NM,若CF=2

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,直接写出

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MN+NG的最小值.

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解:(1)BD=5

(1) 方法一:如下图左,在线段DC上取一点P使CP=CH,同时在DC延长线上取点Q使CQ=CH,易知△ACQ≌△BCH,△CFP≌△CGH,设∠ABG=α,则∠CAD=2α,∠BHC=45°+α,∠FPD=45°+α,得∠DFP=45°+α,故DP=DF;同时∠Q=∠DAQ=45°+α,故DA=DQ,由此可得AF=PQ,而PQ=CP+CQ=2CH,即有AF=2CH;

方法二:如下图右,核心方法类似,关键是通过全等和导角,澳门荷官发牌同学们可自行证明;

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点评:敏感的同学可能会立刻反应过来,此问考查的是绝配角,构造等腰三角形很关键;建议同学们刻意学习一下绝配角问题介绍及经典题分析,哈题经典,不是学霸真不要学!,方能有所感悟.

(1) 连接GF并取中点O,连接OM、ON,易知△OMF≌△ONC,得OM=ON,∠MON=90°,故MN=

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ON,由此

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MN+GN=2ON+GN=2(ON+

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GN),过点G作GV且∠CGV=30,过点N作NI⊥GV于点I,易知NI=

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GN,故ON+

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GN=ON+NI,明显当O、N、I共线时取最小值,即(

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MN+GN)min=2OR在△OGR中,∠OGR=75°,sin75°=

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OR=OGsin75°=

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故(

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MN+GN)min=

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点评:看懂不难,难的是如何想到,此问关键是FM=CN如何处理的问题,学会处理,那后续的转化就非常顺畅了.胡不归问题,多数同学是能看出来的,但是要真正转化才是核心.    

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